CẨM NANG TOÀN DIỆN TOÁN HỌC TSA & TOÁN CAO CẤP ỨNG DỤNG
Hệ thống công thức cô đọng, điều kiện chuẩn mực & Phương pháp thực chiến mục tiêu 40/40
Kỳ thi Đánh giá Tư duy (TSA) - Đại học Bách khoa Hà Nội
1. BẢNG SO SÁNH CHIẾN LƯỢC: KHI NÀO DÙNG THPT VS. TOÁN CAO CẤP?
Phân tích tốc độ giải bài thi trắc nghiệm nhằm chọn phương pháp ngắn gọn nhất, triệt tiêu các bước biến đổi trung gian không cần thiết:
| Dạng toán / Tình huống | Phương pháp THPT | Phương pháp Toán Cao Cấp | Khuyến nghị tối ưu |
|---|---|---|---|
| 1. Khử vô định giới hạn dạng \(0/0, \infty/\infty\) chứa căn phức tạp | Nhân liên hợp, quy đồng, phân tích đa thức thành nhân tử (dài, dễ nhầm khi căn bậc 3). | Vô cùng bé tương đương / Quy tắc L'Hôpital / Khai triển Maclaurin. | CAO CẤP TỐI ƯU Triệt tiêu ngay trong 5–10s, bỏ qua liên hợp. |
| 2. Chuyển dịch trạng thái theo chu kỳ (thị phần, thời tiết, sinh học) | Lập sơ đồ cây, quy nạp, giải hệ xác suất lồng nhau qua từng bước (dài và rối khi \(n \ge 3\)). | Xích Markov: Vector \(v_n = P^n \cdot v_0\) hoặc giải hệ cân bằng dài hạn \((P - I)\pi = 0\). | CAO CẤP TỐI ƯU Bấm ma trận Casio \(P^n \cdot v_0\) ra kết quả 20s. |
| 3. Số hạng tổng quát dãy truy hồi \(a_n = c_1 a_{n-1} + c_2 a_{n-2}\) | Thêm bớt đưa về cấp số nhân \(a_n + k a_{n-1} = q(a_{n-1} + k a_{n-2})\) (mò \(k\) rất khó). | Phương trình đặc trưng: \(r^2 - c_1 r - c_2 = 0 \implies a_n = A r_1^n + B r_2^n\). | CAO CẤP TỐI ƯU Quy trình cố định, không cần đoán dạng. |
| 4. Khoảng cách 2 đường chéo nhau trong không gian phức tạp | Dựng mặt phẳng phụ song song, kẻ đoạn vuông góc chung (khó nhìn hình, dễ vẽ sai). | Tọa độ hóa Oxyz: \(d = \frac{|[\vec{u}_1, \vec{u}_2] \cdot \vec{M_1 M_2}|}{|[\vec{u}_1, \vec{u}_2]|}\). | CAO CẤP TỐI ƯU Chuyển hình học thành đại số 100% chuẩn xác. |
| 5. Diện tích đa giác \(n\) đỉnh bất kỳ trên hệ trục Oxy | Chia nhỏ đa giác thành nhiều tam giác/hình thang rồi cộng diện tích. | Công thức Shoelace: \(S = \frac{1}{2} \left|\sum (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i)\right|\). | CAO CẤP TỐI ƯU Tính một mạch theo tọa độ các đỉnh. |
| 6. Tích phân đối xứng dạng \(\int_a^b \frac{f(x)}{f(x)+f(a+b-x)}dx\) | Đổi biến \(t = a + b - x\), chứng minh \(I = I'\) rồi cộng 2 vế (mất 2-3 phút biến đổi). | Định lý King: Kết quả luôn bằng \(\frac{b - a}{2}\). | CAO CẤP TỐI ƯU Ghi ngay đáp số trong 5 giây. |
| 7. Tích phân từng phần lặp lại \(\int P(x)e^{ax}dx, \int P(x)\cos(ax)dx\) | Đặt \(u, dv\) rồi tích phân từng phần 2–3 lần liên tiếp (dễ nhầm dấu trừ). | Phương pháp bảng DI (Đường chéo): Một cột đạo hàm, một cột nguyên hàm. | CAO CẤP TỐI ƯU Viết kết quả trực tiếp theo đường chéo đan dấu. |
| 8. Tăng trưởng / Phân rã / Làm nguội theo thời gian | Học thuộc từng công thức rời rạc cho từng bài. | Phương trình vi phân: \(y' = ky \implies y(t) = y_0 e^{kt}\) hoặc \(T'(t) = -k(T - T_{\text{env}})\). | CAO CẤP TỐI ƯU Nắm trọn bản chất quy luật tăng trưởng thực tế. |
| 9. Khảo sát cực trị hàm bậc 2, bậc 3 cơ bản | Tính \(f'(x) = 0\), lập bảng xét dấu đạo hàm trực tiếp. | Ma trận Hessian, đạo hàm cấp cao. | THPT TỐI ƯU Đạo hàm trực tiếp nhanh và gọn hơn. |
| 10. Cực trị đối xứng 2-3 biến: \(x + y = S\), tìm max \(xy\) | BĐT AM-GM (Cauchy): \(xy \le \frac{(x+y)^2}{4} = \frac{S^2}{4}\). | Nhân tử Lagrange (Lập hệ đạo hàm riêng 3 ẩn). | THPT TỐI ƯU AM-GM cho kết quả ngay trong 1 dòng. |
2. TOÁN CAO CẤP ỨNG DỤNG: CÔNG THỨC CHI TIẾT & ĐIỀU KIỆN ÁP DỤNG
2.1. Đại Số Tuyến Tính, Định Thức & Hình Học Tọa Độ Ma Trận
1. Định Lý Cramer Giải Hệ Phương Trình Tuyến Tính \(n\) Ẩn
Điều kiện: Hệ gồm \(n\) phương trình bậc nhất, \(n\) ẩn số \(A \cdot X = B\) và \(\det(A) \ne 0\).
$$x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)} \quad (i = 1, 2, \dots, n)$$
Trong đó \(A_i\) là ma trận thu được từ \(A\) bằng cách thay cột thứ \(i\) bằng cột hệ số tự do \(B\).
2. Công Thức Shoelace (Dây Giày / Gauss Area) Tính Diện Tích Đa Giác
Điều kiện: Đa giác phẳng đơn gồm \(n\) đỉnh \(P_1(x_1,y_1), P_2(x_2,y_2), \dots, P_n(x_n,y_n)\) liệt kê theo thứ tự vòng quanh (quy ước \(P_{n+1} = P_1\)).
$$S = \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^n (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i) \right| = \frac{1}{2} \left| (x_1 y_2 + x_2 y_3 + \dots + x_n y_1) - (y_1 x_2 + y_2 x_3 + \dots + y_n x_1) \right|$$
3. Thể Tích Khối Hộp & Khối Tứ Diện Bằng Định Thức Cấp 3
Điều kiện: Trong không gian \(Oxyz\), cho 3 vectơ không đồng phẳng hoặc 4 đỉnh \(A, B, C, D\).
$$V_{\text{hộp}} = \left| \det(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) \right| = \left| \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} \right| \qquad ; \qquad V_{\text{tứ diện}} = \frac{1}{6} \left| \det(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}) \right|$$
4. Phương Trình Mặt Phẳng Qua 3 Điểm Bằng Định Thức
Điều kiện: 3 điểm \(A(x_1,y_1,z_1), B(x_2,y_2,z_2), C(x_3,y_3,z_3)\) không thẳng hàng.
$$\begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \end{vmatrix} = 0$$
2.2. Khai Triển Taylor, Maclaurin & Bảng Vô Cùng Bé Tương Đương
1. Khai Triển Taylor Tổng Quát Tại Lân Cận \(x = a\)
Điều kiện: Hàm số \(f(x)\) có đạo hàm đến cấp \(n+1\) liên tục trong lân cận điểm \(a\).
$$f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x - a)^k + R_n(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x)$$
Phần dư Lagrange: \(R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x - a)^{n+1}\) với \(\xi\) nằm giữa \(a\) và \(x\).
2. Bảng Vô Cùng Bé Tương Đương Khi \(x \to 0\) (Khử Dạng Vô Định \(0/0\) Siêu Tốc)
Điều kiện: Biểu thức dưới hàm lượng giác, mũ, logarit tiến dần về 0 khi \(x \to x_0\).
| Hàm số ban đầu | Vô cùng bé tương đương (\(x \to 0\)) | Khai triển Maclaurin bậc cao |
|---|---|---|
| \(\sin x\) | \(x\) | \(x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + O(x^7)\) |
| \(\tan x\) | \(x\) | \(x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + O(x^7)\) |
| \(\arcsin x\) / \(\arctan x\) | \(x\) | \(\arcsin x = x + \frac{x^3}{6} + O(x^5)\) \(\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + O(x^7)\) |
| \(e^x - 1\) | \(x\) | \(x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + O(x^4)\) |
| \(\ln(1 + x)\) | \(x\) | \(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + O(x^4)\) |
| \(1 - \cos x\) | \(\frac{x^2}{2}\) | \(\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + O(x^6)\) |
| \((1 + x)^\alpha - 1\) | \(\alpha x\) | \(\alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2 + O(x^3)\) |
| \(\sqrt{1 + x} - 1\) | \(\frac{x}{2}\) | \(\frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + O(x^3)\) |
| \(\sqrt[3]{1 + x} - 1\) | \(\frac{x}{3}\) | \(\frac{x}{3} - \frac{x^2}{9} + O(x^3)\) |
2.3. Dãy Số Truy Hồi & Ma Trận Xích Markov
1. Phương Trình Truy Hồi Tuyến Tính Thuần Nhất Cấp 2: \(a_n = c_1 a_{n-1} + c_2 a_{n-2}\)
Điều kiện: \(c_2 \ne 0\), biết trước 2 số hạng đầu \(a_0, a_1\) (hoặc \(a_1, a_2\)).
$$\text{Phương trình đặc trưng: } r^2 - c_1 r - c_2 = 0$$
$$\begin{cases}
\text{2 nghiệm thực phân biệt } r_1 \ne r_2 & \implies a_n = A \cdot r_1^n + B \cdot r_2^n \\
\text{Nghiệm kép } r_1 = r_2 = r_0 & \implies a_n = (A + B \cdot n) \cdot r_0^n \\
\text{2 nghiệm phức liên hợp } r = \rho e^{\pm i \theta} & \implies a_n = \rho^n (A \cos n\theta + B \sin n\theta)
\end{cases}$$
Hằng số \(A, B\) được xác định duy nhất bằng cách giải hệ phương trình từ các giá trị ban đầu.
2. Xích Markov Rời Rạc & Trạng Thái Cân Bằng Dài Hạn
Điều kiện: Quá trình ngẫu nhiên gồm \(m\) trạng thái với ma trận chuyển \(P = (p_{ij})\) thỏa mãn tổng mỗi cột bằng 1 (\(\sum_i p_{ij} = 1\)).
$$\text{Vector trạng thái sau } n \text{ bước: } v_n = P^n \cdot v_0$$
$$\text{Vector trạng thái cân bằng dừng } \pi = (\pi_1, \dots, \pi_m)^T \text{ thỏa: } (P - I) \cdot \pi = 0 \quad \text{kèm} \quad \sum_{i=1}^m \pi_i = 1$$
2.4. Phương Trình Vi Phân Ứng Dụng & Giải Tích Tích Phân Nâng Cao
1. Phương Trình Vi Phân Tuyến Tính Cấp 1 & Biến Số Phân Ly
Điều kiện: Mô hình tăng trưởng dân số, phân rã phóng xạ, quá trình làm nguội nhiệt độ.
$$\text{Phân rã / Tăng trưởng Malthus: } \frac{dy}{dt} = k \cdot y \implies y(t) = y_0 \cdot e^{kt}$$
$$\text{Định luật làm nguội Newton: } \frac{dT}{dt} = -k(T - T_{\text{env}}) \implies T(t) = T_{\text{env}} + (T_0 - T_{\text{env}}) \cdot e^{-kt}$$
$$\text{Phương trình Logistic (giới hạn sức chứa } K\text{): } \frac{dP}{dt} = rP\left(1 - \frac{P}{K}\right) \implies P(t) = \frac{K}{1 + \left(\frac{K - P_0}{P_0}\right)e^{-rt}}$$
$$\text{Dạng tuyến tính } y' + P(x)y = Q(x) \implies y = e^{-\int P dx} \left( \int Q(x) e^{\int P dx} dx + C \right)$$
2. Định Lý King (Tích Phân Đối Xứng) & Đạo Hàm Dưới Dấu Tích Phân
Điều kiện: Hàm số \(f(x)\) liên tục trên đoạn \([a, b]\).
$$\text{Định lý King: } \int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b f(a + b - x)\,dx \implies \int_a^b \frac{f(x)}{f(x) + f(a + b - x)}\,dx = \frac{b - a}{2}$$
$$\text{Công thức Leibniz: } \frac{d}{dx} \left[ \int_{u(x)}^{v(x)} f(t)\,dt \right] = f(v(x)) \cdot v'(x) - f(u(x)) \cdot u'(x)$$
3. Tổ Hợp Lặp Euler (Bài Toán Chia Kẹo Euler / Stars and Bars)
Điều kiện: Phân chia \(n\) đồ vật giống nhau cho \(k\) đối tượng phân biệt.
$$\text{Số nghiệm nguyên dương } (x_i \ge 1): x_1 + x_2 + \dots + x_k = n \implies N = C_{n - 1}^{k - 1}$$
$$\text{Số nghiệm nguyên không âm } (x_i \ge 0): x_1 + x_2 + \dots + x_k = n \implies N = C_{n + k - 1}^{k - 1}$$
3. CHUYÊN SÂU 6 DẠNG BÀI ĐẶC THÙ ĐỀ THI TSA (KÈM 2 VÍ DỤ MINH HỌA MỖI DẠNG)
DẠNG 1: BÀI TOÁN MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC & TỐI ƯU HÓA THỰC TẾ
Quy trình tối ưu 3 bước:
1. Thiết lập hàm mục tiêu \(f(x)\) (Chi phí, Thể tích, Lợi nhuận).2. Rút gọn về 1 biến qua các ràng buộc kỹ thuật.
3. Dùng BĐT AM-GM (nếu biểu thức dạng tổng-tích đối xứng) hoặc Đạo hàm \(f'(x) = 0\) để tìm cực trị ngay.
📝 VÍ DỤ 1.1: Tối ưu hóa chi phí sản xuất bồn nước hình trụ
Đề TSA 2024
Một doanh nghiệp dự định sản xuất bồn chứa nước bằng inox hình trụ có nắp đậy với dung tích cố định \(V = 2\pi\text{ m}^3\). Chi phí làm nắp và đáy là 1,5 triệu đồng/\(\text{m}^2\), chi phí làm mặt xung quanh là 1,0 triệu đồng/\(\text{m}^2\). Hãy xác định bán kính đáy \(r\) (theo mét) để tổng chi phí sản xuất bồn là nhỏ nhất.
Bước 1 (Ràng buộc): Thể tích \(V = \pi r^2 h = 2\pi \implies h = \frac{2}{r^2}\).
Bước 2 (Thiết lập hàm chi phí):
$$C(r) = 1,5 \cdot (2\pi r^2) + 1,0 \cdot (2\pi r h) = 3\pi r^2 + 2\pi r \left(\frac{2}{r^2}\right) = 3\pi r^2 + \frac{4\pi}{r}$$
Bước 3 (Tối ưu bằng AM-GM 3 số): Tách \(\frac{4\pi}{r} = \frac{2\pi}{r} + \frac{2\pi}{r}\) để triệt tiêu biến \(r\):
$$C(r) = 3\pi r^2 + \frac{2\pi}{r} + \frac{2\pi}{r} \ge 3 \sqrt[3]{(3\pi r^2) \cdot \left(\frac{2\pi}{r}\right) \cdot \left(\frac{2\pi}{r}\right)} = 3\sqrt[3]{12\pi^3}$$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: \(3\pi r^2 = \frac{2\pi}{r} \iff r^3 = \frac{2}{3} \iff r = \sqrt[3]{\frac{2}{3}} \approx 0,874\text{ m}\).
✓ Kết luận: Bán kính đáy tối ưu là \(r = \sqrt[3]{2/3}\text{ m}\).
📝 VÍ DỤ 1.2: Tối ưu hóa lưu lượng dòng chảy của kênh dẫn nước mặt cắt hình thang
Đề TSA 2025
Một kênh dẫn nước có mặt cắt ngang là hình thang cân với đáy bé và hai cạnh bên đều có độ dài bằng \(a = 2\text{ m}\). Góc nghiêng giữa cạnh bên và phương ngang là \(\alpha\) (\(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\)). Tìm \(\alpha\) để diện tích mặt cắt ngang \(S(\alpha)\) đạt giá trị lớn nhất (giúp lưu lượng dẫn nước cực đại).
Bước 1 (Hình học & Biểu diễn diện tích):
Chiều cao hình thang: \(h = a \sin \alpha = 2\sin \alpha\).
Đáy lớn hình thang: \(B = a + 2a \cos \alpha = 2 + 4\cos \alpha\).
Diện tích mặt cắt ngang: $$S(\alpha) = \frac{(B + a) \cdot h}{2} = \frac{(4 + 4\cos \alpha) \cdot 2\sin \alpha}{2} = 4(1 + \cos \alpha)\sin \alpha$$
Đáy lớn hình thang: \(B = a + 2a \cos \alpha = 2 + 4\cos \alpha\).
Diện tích mặt cắt ngang: $$S(\alpha) = \frac{(B + a) \cdot h}{2} = \frac{(4 + 4\cos \alpha) \cdot 2\sin \alpha}{2} = 4(1 + \cos \alpha)\sin \alpha$$
Bước 2 (Tìm cực trị bằng đạo hàm):
$$S'(\alpha) = 4 \left[ -\sin^2 \alpha + (1 + \cos \alpha)\cos \alpha \right] = 4 \left[ -(1 - \cos^2 \alpha) + \cos \alpha + \cos^2 \alpha \right] = 4(2\cos^2 \alpha + \cos \alpha - 1)$$
Đặt \(t = \cos \alpha\) (\(0 < t < 1\)), ta có phương trình:
$$2t^2 + t - 1 = 0 \iff (2t - 1)(t + 1) = 0 \implies t = \frac{1}{2} \implies \cos \alpha = \frac{1}{2} \implies \alpha = \frac{\pi}{3} = 60^\circ$$
✓ Kết luận: Góc nghiêng tối ưu là \(\alpha = 60^\circ\) (\(\frac{\pi}{3}\)), khi đó \(S_{\max} = 3\sqrt{3}\text{ m}^2\).
DẠNG 2: BÀI TOÁN XÁC SUẤT CHUYỂN TRẠNG THÁI & MA TRẬN XÍCH MARKOV
Quy trình giải bằng Casio trong 30 giây:
1. Lập ma trận chuyển \(P\) (cột \(j\) chứa xác suất chuyển từ trạng thái \(j\)).2. Nhập \(P\) vào MatA, nhập vector ban đầu \(v_0\) vào MatB.
3. Sau \(n\) chu kỳ: bấm MatA^n × MatB ra ngay kết quả.
4. Cân bằng dài hạn: giải hệ \((P - I)\pi = 0\) kèm \(\sum \pi_i = 1\).
📝 VÍ DỤ 2.1: Chuyển dịch thị phần dịch vụ vận tải công nghệ
Đề TSA 2024
Hai công ty gọi xe A và B cạnh tranh tại một đô thị. Ban đầu thị phần của A là 70%, B là 30%. Qua mỗi năm, 80% khách hàng của A tiếp tục dùng A, 20% chuyển sang B; trong khi 60% khách hàng của B tiếp tục dùng B, 40% chuyển sang A. Xác định thị phần của A sau 2 năm và thị phần ổn định lâu dài.
Bước 1 (Lập mô hình ma trận):
$$P = \begin{pmatrix} 0,80 & 0,40 \\ 0,20 & 0,60 \end{pmatrix} \quad ; \quad v_0 = \begin{pmatrix} 0,70 \\ 0,30 \end{pmatrix}$$
Bước 2 (Tính toán sau 2 năm):
$$v_1 = P \cdot v_0 = \begin{pmatrix} 0,80 \cdot 0,70 + 0,40 \cdot 0,30 \\ 0,20 \cdot 0,70 + 0,60 \cdot 0,30 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,68 \\ 0,32 \end{pmatrix}$$
$$v_2 = P \cdot v_1 = \begin{pmatrix} 0,80 \cdot 0,68 + 0,40 \cdot 0,32 \\ 0,20 \cdot 0,68 + 0,60 \cdot 0,32 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,672 \\ 0,328 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 67,2\% \\ 32,8\% \end{pmatrix}$$
Bước 3 (Thị phần cân bằng dài hạn): Giải hệ \((P - I)\pi = 0\):
$$\begin{cases} -0,20\pi_A + 0,40\pi_B = 0 \\ \pi_A + \pi_B = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} \pi_A = \frac{0,40}{0,20 + 0,40} = \frac{2}{3} \approx 66,67\% \\ \pi_B = \frac{1}{3} \approx 33,33\% \end{cases}$$
✓ Kết luận: Thị phần hãng A sau 2 năm là 67,2%; thị phần ổn định lâu dài là 66,67%.
📝 VÍ DỤ 2.2: Dự báo thời tiết 3 trạng thái (Nắng, Mây, Mưa)
Đề TSA 2025
Thời tiết mỗi ngày có 3 trạng thái: 1-Nắng, 2-Mây, 3-Mưa. Ma trận chuyển trạng thái sau mỗi ngày là:
$$P = \begin{pmatrix} 0,7 & 0,2 & 0,1 \\ 0,2 & 0,6 & 0,3 \\ 0,1 & 0,2 & 0,6 \end{pmatrix}$$
Biết ngày thứ Hai là ngày Nắng (\(v_0 = (1, 0, 0)^T\)). Tính xác suất ngày thứ Tư (sau 2 ngày) là ngày Mưa.
Bước 1 (Tính vector trạng thái ngày thứ Ba - sau 1 ngày):
$$v_1 = P \cdot v_0 = \begin{pmatrix} 0,7 \\ 0,2 \\ 0,1 \end{pmatrix}$$
Bước 2 (Tính vector trạng thái ngày thứ Tư - sau 2 ngày):
$$v_2 = P \cdot v_1 = \begin{pmatrix} 0,7(0,7) + 0,2(0,2) + 0,1(0,1) \\ 0,2(0,7) + 0,6(0,2) + 0,3(0,1) \\ 0,1(0,7) + 0,2(0,2) + 0,6(0,1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,49 + 0,04 + 0,01 \\ 0,14 + 0,12 + 0,03 \\ 0,07 + 0,04 + 0,06 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,54 \\ 0,29 \\ 0,17 \end{pmatrix}$$
✓ Kết luận: Xác suất ngày thứ Tư có mưa là \(p = 0,17\) (17%).
DẠNG 3: BÀI TOÁN LẬP LUẬN THUẬT TOÁN, SƠ ĐỒ KHỐI & VÒNG LẶP PSEUDOCODE
Kỹ thuật lập bảng trạng thái (Trace Table):
• Tạo cột cho từng biến và cột kiểm tra điều kiện rẽ nhánh.• Chạy 3–4 bước đầu để xác định quy luật bất biến (bội số, công sai, chu kỳ).
• Lưu ý điều kiện biên dừng vòng lặp (\(<\) hay \(\le\)).
📝 VÍ DỤ 3.1: Thuật toán Euclid trừ liên tiếp tìm ƯCLN
Đề TSA 2024
Cho đoạn mã giả sau:
Nhập a = 42, b = 70, Count = 0
Khi (a ≠ b) thực hiện:
Count = Count + 1
Nếu (a > b) thì: a = a - b
Ngược lại: b = b - a
Xuất ra: a, Count
Xác định giá trị xuất ra của \(a\) và \(\text{Count}\).
Khi (a ≠ b) thực hiện:
Count = Count + 1
Nếu (a > b) thì: a = a - b
Ngược lại: b = b - a
Xuất ra: a, Count
Bảng Trace Table:
| Vòng lặp (Count) | Giá trị a | Giá trị b | Điều kiện \(a \ne b\) | Thao tác |
|---|---|---|---|---|
| 0 (Khởi tạo) | 42 | 70 | \(42 \ne 70\) (Đúng) | Khởi tạo |
| 1 | 42 | \(70 - 42 = 28\) | \(42 \ne 28\) (Đúng) | \(b = b - a\) |
| 2 | \(42 - 28 = 14\) | 28 | \(14 \ne 28\) (Đúng) | \(a = a - b\) |
| 3 | 14 | \(28 - 14 = 14\) | \(14 = 14\) (Sai \(\implies\) Dừng) | \(b = b - a\) |
✓ Kết luận: Thuật toán xuất ra \(a = 14\) (chính là \(\text{ƯCLN}(42, 70)\)) và \(\text{Count} = 3\).
📝 VÍ DỤ 3.2: Thuật toán tích lũy dồn tìm số mũ thỏa mãn điều kiện
Đề TSA 2025
Cho đoạn mã giả sau:
P = 1, k = 1
Khi (P ≤ 1000) thực hiện:
k = k + 1
P = P * 2 + k
Xuất ra: k, P
Xác định giá trị xuất ra của \(k\) và \(P\) khi thuật toán kết thúc.
Khi (P ≤ 1000) thực hiện:
k = k + 1
P = P * 2 + k
Xuất ra: k, P
Bảng Trace Table chi tiết:
| Vòng | k | P (trước) | Điều kiện \(P \le 1000\) | Cập nhật k mới | Cập nhật P mới (\(P \cdot 2 + k\)) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 | \(1 \le 1000\) | 2 | \(1 \cdot 2 + 2 = 4\) |
| 1 | 2 | 4 | \(4 \le 1000\) | 3 | \(4 \cdot 2 + 3 = 11\) |
| 2 | 3 | 11 | \(11 \le 1000\) | 4 | \(11 \cdot 2 + 4 = 26\) |
| 3 | 4 | 26 | \(26 \le 1000\) | 5 | \(26 \cdot 2 + 5 = 57\) |
| 4 | 5 | 57 | \(57 \le 1000\) | 6 | \(57 \cdot 2 + 6 = 120\) |
| 5 | 6 | 120 | \(120 \le 1000\) | 7 | \(120 \cdot 2 + 7 = 247\) |
| 6 | 7 | 247 | \(247 \le 1000\) | 8 | \(247 \cdot 2 + 8 = 502\) |
| 7 | 8 | 502 | \(502 \le 1000\) | 9 | \(502 \cdot 2 + 9 = 1013\) |
| 8 | 9 | 1013 | \(1013 \le 1000\) (SAI) | DỪNG THUẬT TOÁN | |
✓ Kết luận: Thuật toán xuất ra \(k = 9\) và \(P = 1013\).
DẠNG 4: TRẮC NGHIỆM ĐÚNG/SAI ĐA Ý (4 MỆNH ĐỀ - CHỐNG MẤT ĐIỂM DÂY CHUYỀN)
Chiến thuật 4 mệnh đề TSA:
• Kiểm tra phản ví dụ để phủ định mệnh đề sai trong 10s.• Ý a, b là nền móng để giải ý c, d.
• Điểm tính theo số ý đúng (Đúng 1 ý: 0,1đ; Đúng 2 ý: 0,25đ; Đúng 3 ý: 0,5đ; Đúng 4 ý: 1,0đ).
📝 VÍ DỤ 4.1: Khảo sát hàm phân thức bậc 2 trên bậc 1
Đề TSA 2024
Cho hàm số \(f(x) = \frac{x^2 - 3x + 6}{x - 1}\). Xét tính đúng/sai của 4 mệnh đề:
a) Đồ thị có tiệm cận đứng là \(x = 1\) và tiệm cận xiên là \(y = x - 2\).
b) Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm về hai phía của trục tung \(Oy\).
c) Giá trị cực đại nhỏ hơn giá trị cực tiểu của hàm số.
d) Phương trình \(f(x) = m\) có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(m > 3\) hoặc \(m < -5\).
a) Đồ thị có tiệm cận đứng là \(x = 1\) và tiệm cận xiên là \(y = x - 2\).
b) Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm về hai phía của trục tung \(Oy\).
c) Giá trị cực đại nhỏ hơn giá trị cực tiểu của hàm số.
d) Phương trình \(f(x) = m\) có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(m > 3\) hoặc \(m < -5\).
Phân tích từng mệnh đề:
• Ý a: Biến đổi \(f(x) = x - 2 + \frac{4}{x - 1}\). Tiệm cận đứng \(x = 1\), tiệm cận xiên \(y = x - 2\) \(\implies\) ĐÚNG.
• Ý b: \(f'(x) = 1 - \frac{4}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x-1)^2} = 0 \iff x_1 = -1, x_2 = 3\). Tích \(x_1 x_2 = -3 < 0\) nên 2 điểm nằm về 2 phía \(Oy\) \(\implies\) ĐÚNG.
• Ý c: Cực đại tại \(x = -1\) có \(y_{\text{CĐ}} = f(-1) = -5\); Cực tiểu tại \(x = 3\) có \(y_{\text{CT}} = f(3) = 3\). Rõ ràng \(y_{\text{CĐ}} = -5 < y_{\text{CT}} = 3\) \(\implies\) ĐÚNG.
• Ý d: Dựa vào bảng biến thiên, phương trình \(f(x) = m\) cắt đồ thị tại 2 điểm khi \(m > y_{\text{CT}} = 3\) hoặc \(m < y_{\text{CĐ}} = -5\) \(\implies\) ĐÚNG.
• Ý a: Biến đổi \(f(x) = x - 2 + \frac{4}{x - 1}\). Tiệm cận đứng \(x = 1\), tiệm cận xiên \(y = x - 2\) \(\implies\) ĐÚNG.
• Ý b: \(f'(x) = 1 - \frac{4}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x-1)^2} = 0 \iff x_1 = -1, x_2 = 3\). Tích \(x_1 x_2 = -3 < 0\) nên 2 điểm nằm về 2 phía \(Oy\) \(\implies\) ĐÚNG.
• Ý c: Cực đại tại \(x = -1\) có \(y_{\text{CĐ}} = f(-1) = -5\); Cực tiểu tại \(x = 3\) có \(y_{\text{CT}} = f(3) = 3\). Rõ ràng \(y_{\text{CĐ}} = -5 < y_{\text{CT}} = 3\) \(\implies\) ĐÚNG.
• Ý d: Dựa vào bảng biến thiên, phương trình \(f(x) = m\) cắt đồ thị tại 2 điểm khi \(m > y_{\text{CT}} = 3\) hoặc \(m < y_{\text{CĐ}} = -5\) \(\implies\) ĐÚNG.
✓ Đáp án: a) ĐÚNG, b) ĐÚNG, c) ĐÚNG, d) ĐÚNG.
📝 VÍ DỤ 4.2: Nồng độ thuốc trong máu sau khi tiêm (Mô hình Dược động học)
Đề TSA 2025
Nồng độ thuốc \(C(t)\) (đơn vị: mg/L) trong máu của một bệnh nhân sau khi tiêm \(t\) giờ được mô hình hóa bởi hàm số:
$$C(t) = 4t \cdot e^{-0,5t} \quad (t \ge 0)$$
Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:
a) Sau khi tiêm, nồng độ thuốc trong máu tăng liên tục trong 2 giờ đầu tiên.
b) Nồng độ thuốc trong máu đạt giá trị cao nhất bằng \(\frac{8}{e}\text{ mg/L}\).
c) Sau thời điểm \(t = 2\) giờ, tốc độ giảm nồng độ thuốc luôn không đổi.
d) Nồng độ thuốc giảm xuống dưới 1 mg/L tại thời điểm \(t \ge 8\) giờ.
a) Sau khi tiêm, nồng độ thuốc trong máu tăng liên tục trong 2 giờ đầu tiên.
b) Nồng độ thuốc trong máu đạt giá trị cao nhất bằng \(\frac{8}{e}\text{ mg/L}\).
c) Sau thời điểm \(t = 2\) giờ, tốc độ giảm nồng độ thuốc luôn không đổi.
d) Nồng độ thuốc giảm xuống dưới 1 mg/L tại thời điểm \(t \ge 8\) giờ.
Phân tích từng mệnh đề:
• Ý a: \(C'(t) = 4e^{-0,5t} + 4t(-0,5)e^{-0,5t} = 4(1 - 0,5t)e^{-0,5t} = 2(2 - t)e^{-0,5t}\). Với \(0 \le t < 2\) thì \(C'(t) > 0\) nên hàm tăng \(\implies\) ĐÚNG.
• Ý b: Đạt cực đại tại \(t = 2\): \(C(2) = 4(2)e^{-0,5 \cdot 2} = 8e^{-1} = \frac{8}{e} \approx 2,94\text{ mg/L}\) \(\implies\) ĐÚNG.
• Ý c: Tốc độ giảm là \(-C'(t)\), hàm mũ phi tuyến biến thiên liên tục theo thời gian, không bao giờ là hằng số \(\implies\) SAI.
• Ý d: Tại \(t = 8\): \(C(8) = 4(8)e^{-4} = 32e^{-4} \approx 32 / 54,6 \approx 0,586 < 1\text{ mg/L}\). Vì với \(t \ge 2\) hàm nghịch biến nên với mọi \(t \ge 8\) thì \(C(t) \le C(8) < 1\text{ mg/L}\) \(\implies\) ĐÚNG.
• Ý a: \(C'(t) = 4e^{-0,5t} + 4t(-0,5)e^{-0,5t} = 4(1 - 0,5t)e^{-0,5t} = 2(2 - t)e^{-0,5t}\). Với \(0 \le t < 2\) thì \(C'(t) > 0\) nên hàm tăng \(\implies\) ĐÚNG.
• Ý b: Đạt cực đại tại \(t = 2\): \(C(2) = 4(2)e^{-0,5 \cdot 2} = 8e^{-1} = \frac{8}{e} \approx 2,94\text{ mg/L}\) \(\implies\) ĐÚNG.
• Ý c: Tốc độ giảm là \(-C'(t)\), hàm mũ phi tuyến biến thiên liên tục theo thời gian, không bao giờ là hằng số \(\implies\) SAI.
• Ý d: Tại \(t = 8\): \(C(8) = 4(8)e^{-4} = 32e^{-4} \approx 32 / 54,6 \approx 0,586 < 1\text{ mg/L}\). Vì với \(t \ge 2\) hàm nghịch biến nên với mọi \(t \ge 8\) thì \(C(t) \le C(8) < 1\text{ mg/L}\) \(\implies\) ĐÚNG.
✓ Đáp án: a) ĐÚNG, b) ĐÚNG, c) SAI, d) ĐÚNG.
DẠNG 5: DÃY SỐ TRUY HỒI, QUY LUẬT & TỔ HỢP LẶP EULER
Công thức giải nhanh:
• Dãy \(a_n = c_1 a_{n-1} + c_2 a_{n-2} \implies\) Bấm giải PT bậc 2 \(r^2 - c_1 r - c_2 = 0\).• Chia \(n\) kẹo cho \(k\) người (mỗi người \(\ge 1\)): \(C_{n-1}^{k-1}\); (mỗi người \(\ge 0\)): \(C_{n+k-1}^{k-1}\).
📝 VÍ DỤ 5.1: Dãy số truy hồi tuyến tính cấp 2
Đề TSA 2024
Dãy số \(\{a_n\}\) thỏa mãn: \(a_1 = 5, a_2 = 13\) và \(a_n = 5a_{n-1} - 6a_{n-2}\) với mọi \(n \ge 3\). Tìm số hạng \(a_{10}\).
Bước 1 (Phương trình đặc trưng):
$$r^2 - 5r + 6 = 0 \iff (r - 2)(r - 3) = 0 \implies r_1 = 2, r_2 = 3$$
Bước 2 (Nghiệm tổng quát): \(a_n = A \cdot 2^n + B \cdot 3^n\).
Bước 3 (Xác định hằng số A, B):
$$\begin{cases} a_1 = 2A + 3B = 5 \\ a_2 = 4A + 9B = 13 \end{cases} \implies \begin{cases} A = 1 \\ B = 1 \end{cases} \implies a_n = 2^n + 3^n$$
Bước 4 (Tính \(a_{10}\)):
$$a_{10} = 2^{10} + 3^{10} = 1024 + 59049 = 60073$$
✓ Kết luận: \(a_{10} = 60073\).
📝 VÍ DỤ 5.2: Phân chia đề tài nghiên cứu (Tổ hợp Euler có điều kiện chặn dưới)
Đề TSA 2025
Có 15 suất học bổng giống nhau cần trao cho 4 viện đào tạo (Viện 1, Viện 2, Viện 3, Viện 4). Hỏi có bao nhiêu cách phân chia nếu Viện 1 nhận được ít nhất 3 suất, Viện 2 nhận ít nhất 2 suất, Viện 3 và 4 mỗi viện nhận ít nhất 1 suất?
Bước 1 (Mô hình hóa phương trình):
Gọi \(x_1, x_2, x_3, x_4\) là số suất học bổng trao cho 4 viện:
$$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 15 \quad (x_1 \ge 3, x_2 \ge 2, x_3 \ge 1, x_4 \ge 1)$$
Bước 2 (Đổi biến đưa về dạng chuẩn \(y_i \ge 1\)):
Đặt \(x_1 = y_1 + 2\) (với \(y_1 \ge 1 \implies x_1 \ge 3\)), đặt \(x_2 = y_2 + 1\) (với \(y_2 \ge 1 \implies x_2 \ge 2\)). Phương trình trở thành:
$$(y_1 + 2) + (y_2 + 1) + x_3 + x_4 = 15 \iff y_1 + y_2 + x_3 + x_4 = 12 \quad (\text{với } y_1, y_2, x_3, x_4 \ge 1)$$
Bước 3 (Áp dụng công thức chia kẹo Euler):
$$N = C_{12 - 1}^{4 - 1} = C_{11}^3 = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 165 \text{ (cách)}$$
✓ Kết luận: Có tất cả 165 cách phân chia thỏa mãn yêu cầu.
DẠNG 6: HÌNH HỌC TỌA ĐỘ OXYZ & TỌA ĐỘ HÓA BÀI TOÁN THỰC TẾ
Công thức cốt lõi Oxyz:
• Khoảng cách 2 đường chéo nhau: \(d(\Delta_1, \Delta_2) = \frac{|[\vec{u}_1, \vec{u}_2] \cdot \vec{M_1 M_2}|}{|[\vec{u}_1, \vec{u}_2]|}\).• Khoảng cách điểm \(M\) đến đường thẳng \(\Delta\): \(d(M, \Delta) = \frac{|[\vec{u}, \vec{M_0 M}]|}{|\vec{u}|}\).
📝 VÍ DỤ 6.1: Khoảng cách ngắn nhất giữa máy bay và trạm kiểm soát không lưu
Đề TSA 2024
Trong không gian \(Oxyz\) (đơn vị: km), trạm kiểm soát không lưu đặt tại gốc tọa độ \(O(0,0,0)\). Một máy bay đang bay theo đường thẳng \(d\):
$$\begin{cases} x = 12 + 2t \\ y = 9 - t \\ z = 6 + 2t \end{cases} \quad (t \text{ tính theo phút})$$
Tính khoảng cách ngắn nhất từ máy bay đến trạm không lưu \(O\).
Bước 1 (Khoảng cách bình phương theo \(t\)):
Vị trí máy bay tại thời điểm \(t\) là \(M(12 + 2t, 9 - t, 6 + 2t)\).
$$OM^2(t) = (12 + 2t)^2 + (9 - t)^2 + (6 + 2t)^2 = (4t^2 + 48t + 144) + (t^2 - 18t + 81) + (4t^2 + 24t + 36)$$
$$OM^2(t) = 9t^2 + 54t + 261$$
Bước 2 (Tìm cực tiểu của tam thức bậc hai):
Đỉnh parabol tại \(t = -\frac{b}{2a} = -\frac{54}{2 \cdot 9} = -3\text{ (phút)}\).
$$OM^2_{\min} = 9(-3)^2 + 54(-3) + 261 = 81 - 162 + 261 = 180 \implies d_{\min} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5} \approx 13,42\text{ km}$$
✓ Kết luận: Khoảng cách ngắn nhất từ máy bay đến trạm là \(6\sqrt{5}\text{ km}\) (\(\approx 13,42\text{ km}\)).
📝 VÍ DỤ 6.2: Khoảng cách giữa 2 dây cáp treo chéo nhau của cầu dây văng
Đề TSA 2025
Trong hệ trục tọa độ \(Oxyz\) (đơn vị: mét), hai dây cáp treo của một cầu dây văng nằm trên hai đường thẳng chéo nhau:
$$d_1: \frac{x - 10}{2} = \frac{y - 20}{1} = \frac{z - 30}{2} \qquad ; \qquad d_2: \frac{x + 10}{1} = \frac{y + 10}{2} = \frac{z - 10}{-2}$$
Tính khoảng cách ngắn nhất giữa hai dây cáp treo này.
Bước 1 (Xác định điểm và vectơ chỉ phương):
Đường \(d_1\) đi qua \(M_1(10, 20, 30)\) có \(\vec{u}_1 = (2, 1, 2)\).
Đường \(d_2\) đi qua \(M_2(-10, -10, 10)\) có \(\vec{u}_2 = (1, 2, -2)\).
Vectơ nối 2 điểm: \(\vec{M_1 M_2} = (-20, -30, -20)\).
Đường \(d_2\) đi qua \(M_2(-10, -10, 10)\) có \(\vec{u}_2 = (1, 2, -2)\).
Vectơ nối 2 điểm: \(\vec{M_1 M_2} = (-20, -30, -20)\).
Bước 2 (Tích có hướng \([\vec{u}_1, \vec{u}_2]\)):
$$[\vec{u}_1, \vec{u}_2] = \begin{pmatrix} 1(-2) - 2(2) \\ 2(1) - 2(-2) \\ 2(2) - 1(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix}$$
Độ dài: \(|[\vec{u}_1, \vec{u}_2]| = \sqrt{(-6)^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 36 + 9} = \sqrt{81} = 9\).
Bước 3 (Tính khoảng cách theo công thức cao cấp):
$$d(d_1, d_2) = \frac{|[\vec{u}_1, \vec{u}_2] \cdot \vec{M_1 M_2}|}{|[\vec{u}_1, \vec{u}_2]|} = \frac{|(-6)(-20) + 6(-30) + 3(-20)|}{9} = \frac{|120 - 180 - 60|}{9} = \frac{|-120|}{9} = \frac{40}{3} \approx 13,33\text{ m}$$
✓ Kết luận: Khoảng cách giữa 2 dây cáp là \(\frac{40}{3}\text{ m}\) (\(\approx 13,33\text{ m}\)).
4. THỦ THUẬT BẤM MÁY CASIO (580VN X / 880BTG) & CHIẾN THUẬT 40/40
| Thao tác mục tiêu | Casio FX-580VN X | Casio FX-880BTG |
|---|---|---|
| Lũy thừa ma trận \(P^n\) (Xích Markov) | MENU 4 (Matrix) → Nhập MatA → OPTN 3 ^ n | HOME → Matrix → Define MatA → MatA ^ n |
| Dò tìm GTLN/GTNN (Table) | MENU 8 → Nhập \(f(x)\) → Step = \((b - a)/29\) | HOME → Table → Nhập \(f(x)\) → Range → Table |
| Giải hệ PT 3-4 ẩn | MENU 9 → 1 (Simul) → Chọn số ẩn 3 hoặc 4 | HOME → Equation → Simul Equation |
| Tính tổng chuỗi \(\sum_{i=1}^n\) | SHIFT + x (ký hiệu \(\sum\)) | HOME → Calculate → Catalog → Summation |
Chiến lược phân bổ 60 phút - 40 câu hỏi:
• Lượt 1 (35–40 phút): Xử lý toàn bộ các câu Mức 1 (Tái hiện) và Mức 2 (Suy luận chuẩn). Câu nào đọc quá 1 phút chưa định hình phương pháp \(\implies\) Đánh dấu cờ (Flag) và chuyển câu ngay. Mục tiêu: 25–28 câu đúng tuyệt đối.• Lượt 2 (20–25 phút): Giải các câu Đúng/Sai 4 ý, mô hình hóa thực tế, thuật toán bằng các công cụ Toán cao cấp (Markov, Cramer, Shoelace, DI Method).
• Quy tắc vàng: Không bao giờ bỏ trống bất kỳ câu hỏi nào.
📚 KHO ĐỀ LUYỆN THI CHUẨN HÓA
Hệ thống đề thi trắc nghiệm TSA, HSA, THPT & Giải tích 1 có bấm giờ, chấm điểm và giải chi tiết
Kỳ thi:
Tất cả
TSA (Bách Khoa)
HSA (ĐHQGHN)
THPT Quốc Gia
Giải tích 1
Năm:
Độ khó:
⚔️ Live Exam Challenge
Nhập mã PIN 6 chữ số để tham gia phòng thi trực tiếp hoặc tạo phòng mới cho lớp học.
Dành cho Giáo viên / Host khảo thí:
👥 Thí sinh tham gia:
MathEval • NỀN TẢNG KHẢO THÍ TOÁN HỌC CHUẨN HÓA
⌨️ Phím tắt:
1-4 / A-D Chọn đáp án
← / → Chuyển câu
F Gắn cờ
Esc Đóng hộp thoại
📊 KẾT QUẢ BÀI THI & LỜI GIẢI CHI TIẾT
TSA 2025 – Đề số 01
0.0
/ 40
Chúc mừng bạn đã hoàn thành bài thi!
Đánh giá tổng quan năng lực tư duy toán học của bạn.
TỈ LỆ CHÍNH XÁC
0%
0
Số câu đúng
0
Số câu sai
0
Bỏ trống
00:00
Thời gian làm
0s
TB mỗi câu
📈 NĂNG LỰC THEO TỪNG CHỦ ĐỀ TOÁN HỌC
📝 LỜI GIẢI CHI TIẾT TỪNG CÂU HỎI
⚡ TẠO ĐỀ THI TÙY CHỈNH THEO MA TRẬN
Hệ thống sinh đề tự động 10 bước: cân bằng độ khó, chủ đề, loại bỏ câu trùng lặp
TSA (Bách Khoa)
HSA (ĐHQGHN)
THPT Quốc Gia
Giải tích 1
Tổng hợp
10 câu
20 câu
30 câu
40 câu
30 phút
45 phút
60 phút
90 phút
Cân bằng (Chuẩn)
Cơ bản (Dễ)
Vận dụng (Trung bình)
Nâng cao (Khó)
🔥 Thử thách Siêu khó (DNA Đột phá)
🎯 LUYỆN TẬP THÍCH ỨNG & THÔNG MINH (ADAPTIVE PRACTICE V2)
Động cơ thích ứng tự động điều chỉnh độ khó theo thời gian thực (M1 → M4) dựa trên kết quả giải bài
🔖 CÂU HỎI ĐÃ LƯU ĐỂ ÔN TẬP (BOOKMARKS 2.0)
Phân loại câu hỏi theo lý do lưu: Chưa hiểu, Hay sai, Câu hay, Muốn học lại, Câu khó
📈 THỐNG KÊ TIẾN ĐỘ, HỒ SƠ NĂNG LỰC & LỊCH SỬ THI
Theo dõi quá trình nâng cao điểm số, độ thuần thục 6 kỹ năng toán học và phân tích nguyên nhân lỗi sai
0
Đề đã hoàn thành
0
Câu hỏi đã làm
0%
Tỉ lệ chính xác TB
0h
Tổng thời gian luyện
📊 HỒ SƠ NĂNG LỰC TOÁN HỌC (MATHEMATICS SKILL PROFILE)
Xu hướng: Ổn định →💪 Điểm mạnh cốt lõi (Strengths)
🎯 Lỗ hổng cần khắc phục (Weaknesses)
🔍 Phân tích bản chất lỗi sai (Error Classification Engine)
0%
Chỉ số Sẵn sàng TSA (Bách Khoa)
Dựa trên độ chính xác các câu tư duy logic, mô hình hóa và tối ưu
0%
Chỉ số Sẵn sàng HSA (ĐHQGHN)
Dựa trên các câu định lượng, giải tích Oxyz, lượng giác và cấp số
SMART LEARNING PATH (RULE-BASED)
Khách (Chưa đồng bộ)
🎯 Lộ trình Đột phá Điểm số Tiếp theo (Rule-Based Recommendations)
Hệ thống phân tích lịch sử làm bài để tự động nhận diện lỗ hổng kiến thức và đề xuất chu trình ôn tập tối ưu.
📜 Lịch sử các lần làm đề gần đây
⚙️ QUẢN TRỊ HỆ THỐNG & DASHBOARD GIÁO VIÊN
Live Classroom Cognitive Heatmap & Sao lưu dữ liệu
📦 HỆ THỐNG SAO LƯU & KHÔI PHỤC TIÊU CHUẨN (PUMKIN_BACKUP_V2)
Xuất toàn bộ dữ liệu cá nhân (tiến độ học tập, lịch sử bài thi, Bookmarks 2.0 phân loại và nhật ký giải bài) ra tệp JSON. Cho phép khôi phục an toàn với tùy chọn Hợp nhất (Merge) hoặc Ghi đè (Replace).
0
Tổng số câu hỏi
0
Câu hỏi TSA
0
Câu hỏi HSA
0
Câu hỏi THPT
0
Giải tích 1
📥 Nhập đề / Câu hỏi hàng loạt (JSON Pipeline)
Dán dữ liệu mảng JSON câu hỏi hoặc tải file lên. Hệ thống sẽ tự động chuẩn hóa, kiểm tra cú pháp LaTeX và phát hiện trùng lặp.
📋 Danh sách câu hỏi trong ngân hàng
🧠 KHO KIẾN THỨC TOÁN HỌC TOÀN DIỆN
25 Chuyên đề chuẩn mực: Tổng quan, Lý thuyết cốt lõi, Công thức, Ví dụ từng bước và Ứng dụng thực tế
🚀 Mở Sổ tay độc lập (Tab riêng) ↗
🔒 Yêu cầu cấp 4 để mở khóa
Chương 1
Tiêu đề chuyên đề
Tổng quan chuyên đề...
📖 1. Lý thuyết trọng tâm & Điều kiện chuẩn mực
📐 2. Hệ thống công thức then chốt
📝 3. Ví dụ minh họa có giải từng bước
🌐 4. Ứng dụng thực tiễn & Mô hình hóa
🚀 Luyện Tập Chuyên Đề Phân Tầng (Tiered Practice Drills)
Lựa chọn cấp độ luyện tập phù hợp với mục tiêu của bạn từ cơ bản đến vận dụng cao.
📐 SỔ TAY CÔNG THỨC TOÁN HỌC TRỰC QUAN
Tra cứu nhanh toàn bộ công thức thực chiến và phương pháp giải trọng tâm cho mọi kỳ thi
Khối:
🗂️ NGÂN HÀNG CÂU HỎI CHUẨN HÓA (> 160 CÂU)
Khám phá và luyện tập độc lập từng câu hỏi TSA, HSA, THPT và Đại học có lời giải chi tiết
Kỳ thi:
Dạng câu:
Độ khó:
Hiển thị 0 câu hỏi
🌐 CỔNG DỮ LIỆU MỞ & PUBLIC RAW DATA REPOSITORY
Kho dữ liệu giáo dục Toán học nguyên bản theo chuẩn GitHub Public Repository — Tải về 1-click hoặc gọi API trực tiếp
🛡️ NGUYÊN TẮC BẢO MẬT & PHÂN TÁCH 3 LOẠI DỮ LIỆU
Zero-Leak Guarantee
A. Mã nguồn (Public Source): Toàn bộ frontend, HTML/CSS/JS được lưu trữ công khai trên GitHub Public Repo và máy chủ tĩnh.
B. Dữ liệu giáo dục (Public Data): 165 câu hỏi, 42 đề thi, 25 chuyên đề lý thuyết được lưu trong
data/ với định dạng mở (JSON, CSV, Markdown).
C. Dữ liệu học sinh (Private Data): Bảo mật tuyệt đối 100%. Tài khoản, mật khẩu, kết quả thi cá nhân chỉ nằm trong trình duyệt của bạn, không bao giờ xuất bản lên mạng.
📥 1. Danh mục Tải về Trực tiếp (1-Click Downloads)
Hỗ trợ đầy đủ định dạng JSON, CSV (mở trực tiếp bằng Microsoft Excel) và Markdown KaTeX. Hoạt động 100% ngay cả khi chạy offline.
⚡ Khuyên dùng
JSON (510 KB)
📦 Trọn bộ Toàn diện (System Bundle)
Gói dữ liệu hoàn chỉnh tích hợp tất cả 165 câu hỏi, 42 đề thi, 25 chuyên đề lý thuyết, 44 công thức và cây phân loại trong 1 file duy nhất.
165 câu hỏi
JSON & CSV
🗂️ Ngân hàng Câu hỏi Thi Chuẩn hóa
Đầy đủ 4 dạng câu hỏi (trắc nghiệm 4 lựa chọn, đúng/sai chùm 4 ý, điền đáp số ngắn) kèm lời giải chi tiết và liên kết chuyên đề.
42 đề thi
JSON (44 KB)
📚 Kho Đề thi Trắc nghiệm Chuẩn quy chế
Cấu trúc đề thi hoàn chỉnh kèm thời gian làm bài, danh sách câu hỏi tham chiếu, ma trận phân bổ độ khó và cơ quan khảo thí.
25 chuyên đề
JSON & Markdown
🧠 Sổ tay Kiến thức & Cẩm nang Toàn tập
25 bài giảng chuẩn mực từ Toán 10 đến Giải tích 1: Lý thuyết trọng tâm, công thức cốt lõi, ví dụ minh họa từng bước và ứng dụng thực tế.
44 công thức
JSON & Markdown
📐 Bảng Tra cứu Công thức Toán học KaTeX
Tuyển tập 44 công thức toán trọng điểm kèm mã KaTeX LaTeX nguyên bản, mô tả ứng dụng và từ khóa tags tìm kiếm nhanh.
Metadata & Hashes
JSON
🌲 Cây Phân loại Đề mục & Tệp Kê khai
Cấu trúc phân cấp các chuyên đề theo khối lớp, dạng bài thi và tệp kê khai manifest.json chứa toàn bộ 22 mã băm SHA-256.
🌐 2. Trình duyệt Điểm cuối Raw (Raw Endpoints Explorer)
Truy xuất dữ liệu trực tiếp qua HTTP GET từ GitHub Raw hoặc mạng nội bộ LAN. Hỗ trợ tiêu đề CORS Access-Control-Allow-Origin: *.
Nguồn URL mẫu:
| Tên dữ liệu | Định dạng | Đường dẫn Raw URL | Thao tác |
|---|
💻 3. Hướng dẫn Tích hợp & Mã nguồn Mẫu (Developer API Snippets)
Dễ dàng kết nối kho dữ liệu mở PUMKIN.DEV vào website cá nhân, ứng dụng React/Flutter, hoặc bot Telegram giải toán.
// Loading...🛡️ 4. Chuẩn hóa Schema & Kịch bản Kiểm định Tính Toàn vẹn
Mọi bản ghi dữ liệu đều tuân thủ đặc tả JSON Schema Draft 2020-12 và được bảo đảm toàn vẹn bằng thuật toán băm SHA-256.
📋 Question Schema
Đặc tả cấu trúc câu hỏi 4 dạng, ràng buộc trường, định dạng KaTeX.
📚 Exam Schema
Đặc tả cấu trúc đề thi, thời gian, câu hỏi tham chiếu, ma trận đề.
🧠 Knowledge Schema
Đặc tả bài học lý thuyết, công thức KaTeX, ví dụ mẫu và ứng dụng.
📦 Manifest Schema
Đặc tả tệp kê khai metadata, phiên bản, checksums và danh mục tệp.
Kiểm định tính toàn vẹn độc lập (PowerShell):
31 / 31 Tests Passed
Chạy lệnh sau tại thư mục gốc của dự án để kiểm định toàn bộ 22 tệp dữ liệu, đảm bảo không có ID trùng lặp và không rò rỉ dữ liệu nhạy cảm:
powershell -ExecutionPolicy Bypass -File .\validate_data.ps1